正四棱台体积公式

棱台体积公式

一基于数学史的教学案例：正四棱台体积公式※

朱哲 张维忠（浙江师范大学数理与信息科学学院 321004）

对中西古代数学文化的深入研究，特别是这种历史的挖掘，目的还是为了指向现实、着眼于未来。本文给出的一则基于数学史的教学案例，正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透，在传统与现代之间架起一座桥梁，从而实现数学教育的现代化。

1 教学案例：正四棱台体积公式

1.1提出问题

师：我们已经学过了棱锥，我手上拿着的是一个正四棱锥的模型。如果我们在它顶部截去一个小的正四棱锥，就得到一个正四棱台（模型演示）。假如这个正四棱台下底面正方形边长为a，上底面边长为b，高为h，那么它的体积该如何表示呢？今天我们就来研究这个问题。

生1：既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到，我就可以通过大正四棱锥体积减去小正四棱锥体积来求（演算：设小正四棱锥高为x，则V V大正四棱锥 V小正四棱锥=12111a(h x) b2x a2h (a2 b2)x ）。我做不下去了。 3333

1.2类比、猜想、实验

师：这位同学的思路非常好，只是暂时遇到了困难。我们把这一问题放一边，先来猜想一下

正四棱台体积的公式。大家回忆一下一些图形的面积和体积公式（与学生一起填写下表）。

121a b2h，因为梯形面积公式为S a b h。 22

1212生3：我觉得应该是V a bh，因为正四棱锥体积公式中有系数，且当b 0时，33

11V a2 b2h a2h,即为正四棱锥体积公式。 33

师：这些公式对不对呢？我们来做个实验。我这里有个空心的正四棱台容器，上底边长0.2米，下底

1边长0.3米，高0.2米，里面装满沙子。由生2的公式得沙子体积为V 0.04 0.09 0.2 0.013立方2

1米，由生3的公式得V 0.04 0.09 0.2 0.00867立方米。我们再把沙子倒入底面边长为0.2米的柱3

形容器，量一下，高为多少？约为0.315米，体积约为0.0126立方米。看来上面两个公式都不是很准确。 生2：我想V ———————

※本文为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”（DHA010276）阶段成果。

棱台体积公式

1，是因为括号内只有a、b两项。那么，如果正四棱台体积公式系数2

112222取，则括号内应有三项，除了a、b我想还应有ab，也即V a ab bh，计算33

11V 0.04 0.06 0.09 0.2 0.0126。这与我们的实验结果一致。另外，当b 0时，V a2h是正33生4：梯形面积公式中系数是

四棱锥的体积公式；当h b a时，V a是正方体的体积公式。我想这个公式应该是正确的。3

1.3推导公式

师：大家同意他的观点吗？（同意！）那好，下面我们就来证明或者说是推导这个公式。用什么方法来推导呢？刚才我们是通过类比的方法归纳出这个公式的，那我们能不能用类似求梯形面积的方法来求正四棱台的体积呢？我们不妨试试看，我先请同学们说出尽可能多的梯形面积公式的推导方法。

生5：(如图1)S

a

h

babh1S2平行四边形=1 a b h。 2x

（图1） （图2）

生6：（如图2）设小三角形高为x，大三角形高为x h，因为这两个三角形相似，所以

即x bx ，ax hbh111111bh1) (a b)h 。 。S a x h bx ah (a b)x ah (a b)(a b222222a b2

111生7：（如图3）S ah bh (a b)h。 222

b

h

a=h+hb

（图3） 生8：（如图4）S

b

h

=a-b11(a b)h bh (a b)h。 22bh+hb

（图 4） （图5）

师：有没有其他方法？还记得我们以前是如何证明梯形中位线定理的？

生9：（如图5）S S三角形=h1(a b)h。 2

师：接下来我们就利用类似的方法试着来推导正四棱台的体积公式。第一组用生5的方法，第二、三、四组同学分别用生6、7、8的方法。如果你觉得这种方法做不出或者做出来了，请再用生9的方法推导。（学生独立思考、互相讨论来解决问题，教师适当介入，给予提示指导。当第四小组完成其推导后，教师再给他们一道思考题：有这样一个四棱台，它的两个底面是长方形。上底面边长分别为a、b，下底面边长分别为c、d，高h，求其体积。）

棱台体积公式

1.4展示成果

第一组（生10）：我们认为利用两个或多个正四棱台拼在一起无法推导其体积公式。

第二组（生1）：刚才我做不下去，现在我会了。（继续 121bh1ah (a2 b2)() a2h 33a b3

11(a b)bh (a2 ab b2)h。 33

第三组（生11）：我们将正四棱台分成五个棱锥A、B、C、D、E：（如图6） A

ACCCDC'D'

A'B'A'B'B'

（A） （B） （C） （D） （E）

（图6）

121ah，VD VE 2VD b2h。对于锥体C（如图7），我们取AC中点O，33

1连结B`O、D`O,容易看出AC⊥ 面B`OD`。取B`D`中点O`，连结OO`，则OO`⊥B`D`。所以，VC S三角3

111112ah2b abh。由此得V

VA VB VC VD VE B`D`hAC=形B`OD`AC 32323

1 (a2 ab b2)h。 3其中VA VB 2VA

'BEHDF

（图7） （图8）

第四小组（生12）：我们将正四棱台切割成九部分（如图8）：(1)一个长方体E，其底面是边长为b的正方形，高为h，体积为bh.(2)四个棱锥A、C、G、I，可以拼成一个大的四棱锥J，起底面是边长为(a b)的正方形，高为h，体积为(a b)h。(3)四个直角三棱 …… 此处隐藏：3091字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……