高级中学数学竞赛讲义0集合与简单逻辑

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集合与简易逻辑

一、基础知识

定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，

分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A 的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。

定义3 交集，

定义4 并集，

定义5 补集，若称为A在I中的补集。

定义6 差集，。

定义7 集合记作开区间，集合

记作闭区间，R记作

定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：

（1）（2）；

（3）（4）

【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。

（1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即

（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有

定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有

种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有

种不同的方法。

定理 3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。

二、方法与例题