高级中学数学竞赛讲义0集合与简单逻辑(2)

-* 1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。

例1 设，求证：

（1）；

（2）；

（3）若，则

[证明]（1）因为，且，所以

（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以

（3）设，则

（因为）。

2．利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则A=B。

例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足

，求集合M（用A，B表示）。

【解】先证，若，因为，所以，所以；

再证，若，则1）若，则；2）若，则。所以

综上，

3．分类讨论思想的应用。

例 3 ，若，求

【解】依题设，，再由解得或，

因为，所以，所以，所以或2，所以或3。

因为，所以，若，则，即，若，则或，解得

综上所述，或；或。

4．计数原理的应用。

例4 集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。