高级中学数学竞赛讲义0集合与简单逻辑(4)

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于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当

时，恰有，且S满足题目条件，所以最少含有912个元素。

例8求所有自然数，使得存在实数满足：

【解】当时，；当时，；当时，

。下证当时，不存在满足条件。

令，则

所以必存在某两个下标，使得，所以或，即，所以或，。

（ⅰ）若，考虑，有或，即

，设，则，导致矛盾，故只有

考虑，有或，即，设，则

，推出矛盾，设，则，又推出矛盾，所以故当时，不存在满足条件的实数。

（ⅱ）若，考虑，有或，即，这时，推出矛盾，故。考虑，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，这又矛盾，所以只有，所以。故当时，不存在满足条件的实数。

例9 设A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三个数，B中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值。

【解】

设B中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则在出现的所有中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，}，其中，为满足题意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以

20个中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以。当时，如下20个集合满足要求：

{1，2，3，7，8}，{1，2，4，12，14}，{1，2，5，15，16}，{1，2，6，9，10}，