云南省昆明一中教育集团2021届高二升高三诊断性(16)

云南省昆明一中教育集团2021届高二升高三诊断性考试文科数学试题含解析

【解析】

【分析】

（1）求得函数的导数1()x f x x

-'=，根据导函数的符号，即可求得函数的单调区间； （2）由（1）中函数的单调性，证得ln (1)x x -≥--，再由223ln 3(1)ax x x ax x x +-≥+--，

令2()3(1)g x ax x x =+--，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数()ln 1f x x x =-+的定义域为(0,)+∞，且11()1x f x x x -='-=

， 所以1x >时，()0f x '<；01x <<时，()0f x '>，

所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.

（2）由（1）得：()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，

所以()(1)0f x f ≤=，即：ln 1≤-x x ，所以ln (1)x x -≥--.

由于223ln 3(1)ax x x ax x x +-≥+--，

令22()3(1)21g x ax x x ax x =+--=++211()1a x a a

=++-， 因为1a ≥，所以110a

-≥，所以()0g x ≥， 即：23ln 0ax x x +-≥.

【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，作出证明；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

22. 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E

过点P

. （1）求椭圆E 的方程；

（2）设直线():1l y k

x =+与椭圆E 交于A ，B 两点，若OAB 的面积为23

，求直线l 的方程.