椭圆及其标准方程 同步作业2020-2021学年高二上学(8)

所以+=1,解得y0=±1,所以A点坐标为(2,±1),

所以==.

【加练·固】

已知圆E:(x+1)2+y2=16,点F(1,0),P是圆E上的任意一点,线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q,则动点Q的轨迹方程为.

【解析】连接QF,根据题意,|QP|=|QF|,

则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|,

所以Q的轨迹是以E,F为焦点的椭圆,且a=2,c=1,所以b=,所以点Q的轨迹方程为+=1.

答案:+=1

2.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).

(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值.

(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值.

(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.

【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1,所以a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|·|PF2|≤==4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,

所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.

(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0),

由=λ得x0=,y0=-.

又+=1,所以+=1,

化简得λ2+6λ-7=0,