必修5 正弦定理、余弦定理(2)

考点一：利用正弦定理、余弦定理求三角形的边和角

例1

、在△0

45c ABC a b B ===中，已知，求A,C 和B=45°，求A ，C 和c 。

【思路分析】本题是已知三角形的两边及一边的对角解三角形问题，可用正弦定理求解，但要先判定△ABC 是否有解？有几解？也可用余弦定理求解。

解法（一）：∵B=45且b<a ，∴△ABC 有两解

解法（二）：

由余弦定理得：22222cos 232b a c ac B c =+-⇒=+-⨯

210c ⇒+= 故

22c c ==

A=60°

A=120°

【说明】本例的特点是已知两边和其中的一边对角解三角形的问题，三角形不固定需

要讨论解的个数，充分体现了分类讨论的数学思想。

考点二：利用正弦定理、余弦定理求角或边等变量的取值范围问题

例2、在△ABC 中，角A

，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c

（1）若cosA=1

3，a =bc 的最大值。（2）若三边a ，b ，c 成等比数列，求证

B ︒≤60.

【思路分析】（1）由cosA=1

3，a =b ，c 的关系。利用不等式可证。

（2）由a ，b ，c 成等比数列及余弦定理可得cosB 12≥即得证。

解：（1）22222212cos 233b c a A b c a bc bc +-==⇒+-=，