必修5 正弦定理、余弦定理(5)

例7、在△ABC 中，sin sin sin cos cos B C A B C +=+，判断三角形的形状。

【思路分析】利用正、余弦定理把角转换成边或利用正弦倍角、和差化积公式，得到角的关系，根据角的关系再来判断。

解：由正、余弦定理得：

222222

222222()()()2()22a c b a b c a b c b a c b c a b c bc b c ac ab

+-+-+=+⇒+-++-=+233222()()()a b c b c bc b c a b c ⇒+-+=+⇒=+ ，即三角形ABC 是直角三角形。

另解：由已知得：

2sin cos cos A 2222sin cos 2sin cos 22222cos cos sin 222B C B C A A A A B C B C A +-=⇒=+- 20

1sin 9022A A ⇒=⇒=∠A=90°，即三角形ABC 是直角三角形。

【本讲涉及的数学思想、方法】：本讲主要讲述正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用。在解题过程中充分体现了等价转换的数学思想（如边角的转换）和分类讨论的数学思想（三角形的解的个数讨论），函数与方程的数学思想（正弦定理余弦定理视为方程处理问题）等在解题中的应用。

预习导学案

(三角形中的几何计算及实际应用举例)

一、预习前知：

1. 在直角三角形中，两锐角的关系是什么？三边之间有何关系？边和角之间有何关系？

2. 在等边三角形中：三角的关系是什么？三边有何关系？

3. 在任意的三角形中：

（1）三边有何关系？

（2）若边大，则边所对的角大，反之成立吗？

（3）反映三角形的边角等量关系的两个重要的定理是 和 。

二、预习导学

探究反思

探究反思的任务：三角形中的几何计算及实际应用。

1. 已知三角形的两边和其夹角用余弦定理，求第三边，写出余弦定理的三个表达式

【反思】（1）已知三角形的三边能求出三个角吗？

（2）给出三角形的三边能判断出三角形是钝角三角形，是锐角三角形，是直角三角形吗？

2. 已知三角形的两边和其中一边的对角或已知三角形的两个角和任意一边用正弦定理

【反思】在使用正弦定理解三角形时，在哪一种情况下解是不唯一的？

3. 在利用正弦定理或余弦定理等相关知识解决实际问题时

一：要掌握几种角（1）俯角，（2）仰角，（3）方位角

二：根据已知条件画出图形（已有图形无需画）