必修5 正弦定理、余弦定理(4)

1sin 2A bc ==故S=1

2

例5、已知三角形的三内角A ，B ，C 依次成等差数列，又知最大角和最小角的正切值是方程2

32x x -+

=1)x -

的两个根，三角形的面积是3，求这个三角形的三个角和三条边。

【思路分析】根据三内角成等差数列可知：∠B=60°，由此可知∠A ，∠C 是最小角，最大角。

由tanA ，tanC 是方程的两根可求∠A ，∠C. 然后根据三角形的面积和正弦定理或余弦定理可求得三边。 解：由已知：∠B=60°，tanA ，tanC 是方程232x x -+

=1)x -的两根，

且∠A<∠B<∠C ，故tanA=1，

tanC=2︒=∠︒=∠⇒75C ,45A .

由1sin 3:1)2ab C ac =-=---------------------（1）

由正弦定理1)sin sin a c a c A C ==-由正弦定理得：得到：--------------（2）

（1）（2

）两式联立解得：1),2a c =-=

再由正弦定理或余弦定理可求得：b =

考点四：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状。

例6、在三角形ABC 中，若22

tan tan b A a B =成立，判断三角形ABC 的形状。

【思路分析】方法（一）由已知可以利用正弦定理或余弦定理把角转换成边。再根据边的关系判断。

方法（二）利用正弦定理或余弦定理把边转换成角，再根据角的关系判断。 解：方法（一）：由已知得：22

22tan sin cos tan cos sin b B B A b A B A a

a =⇒=---------------（*） 由正弦定理或余弦定理（*）可化为：222

2222222222222

22b c a b b b c a b bc a c b a a c b a a ac +-⋅+-=⇒=+-+-⋅

故2222422224a b a c a a b b c b +-=+-22222()()0a b c a b ⇒---=

即：222

a b a b c =+=或，因此三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形。 方法（二）由正弦定理把已知条件化为： 2222sin cos sin sin cos sin sin sin cos 0sin cos sin A B A A A B B A B B A B =⇒-= sin sin (sin cos sin cos )0sin sin (sin 2sin 2)0A B A A B B A B A B ∴-=⇒-=sin 2sin 22222B 90A B A B A A B A B π⇒=⇒==-⇒=+=或或2∠A=2∠B 或2∠A=

︒=∠+∠∠=∠⇒∠-π90B A B A B 2或 故三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形。