必修5 正弦定理、余弦定理(3)

222()02b c b c bc -≥⇒+≥

23944bc a ∴≤=，故当b=c 时，bc 的最大值是94。 （2）由a ，b ，c 成等比数列得：2b ac =，而222,()02a c a c ac -≥⇒+≥

，（a=c 时等号成立）

又︒≤∠π<∠<60B ,B 0故。

例3、已知三角形ABC 的外接圆的直径是1，A,B,C 依次成等差数列，且角A ，B ，C 所

对的边分别是a ，b ，c ，求22a c +的取值范围。

【思路分析】由三内角成等差数列得∠B=60°，故可设∠A=60°αα+︒=∠-60C ,，

然后把22a c +表示成关于α的三角函数，转化为求三角函数的值域问题。

解：由角A ，B ，C 成等差数列得：2∠B=∠A+∠C ，即∠B=60°，故设αα+︒=∠-︒=∠60C ,60A

由正弦定理得：a=2RsinA=sinA ，c=2RsinC=sinC

22221c o s 21c o s 2s i n s i n 22A C a c A C --∴+=+=+11(c o s 2c o s 2)2A C =-+

[]12c o s 21120212060602cos 2

11)2120cos()2120cos(211≤α<-⇒︒<α<︒-⇒︒<α<︒-α+=α+︒+α-︒-

=∵ 223342a c ∴<+≤

考点三：三角形面积公式的应用

例4、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，三角形的面积是S

，求证：S =，（海伦公式）

【思路分析】利用余弦定理求出cosA ，再求sinA ，利用三角形的面积公式

S=A sin bc 21，然后化简即可。

解：222

c o s ,2b c a A bc +-=

2sin A ∴===

===

把1()2p a b c =++代入此式得：