初中排列组合公式例题.(10)

解：(1)设A={选派5人有男队长参加的}，B={选派5人有女队长参加的},则原题即求n(A∪B),

而n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)，

n(A)= =n(B), n(A∩B)= ,

故n(A∩B)=2 - =196。

另解：设A={选派5人有1个队长参加的}，B={选派5人有2个队长参加的}，则原题即求n(A∪B), n(A)= , n(B)=, n(A∩B)=n()=0，

因此n(A∪B)=n(A)+n(B)=+=196。

说明：A∩B即选派5人既要有1个队长参加又要有2个队长参加这件事，这是不可能事件。

(2)设A={选派5人有队长参加的}，B={选派5人有女运动员参加的}，则原题即求n(A∩B)，

又n(A∩B)=n(I)-n()=n(I)-n()

=n(I)-n()-n()+n()==191。

即有191种选派方法。

说明：即选派5人，既无队长又无女运动员参加。

从以上3例我们可以看出，用集合与对应思想分析处理排列组合问题，实质上就是将同一问题中满足不同限制条件的元素的排列或组合的全体与不同的集合之间建立相应的对应关系，而将各限制条件之间的关系转化为集合与集合之间的运算关系，通过计算集合的元素个数来计算排列或组合的个数，这有助于将带有多个附加条件的排列或组合问题分解为只有1个或简单几个附加条件的排列或组合问题来处理，这可大大简化复杂的分类过程，从而降低了问题的难度。

例40 如果从数1，2， ，14中，按从小到大的顺序取出a1，a2，a3，使同时满足a2-a1≥3与a3-a2≥3，那么所有符合上述要求的不同取法共有多少中?

解：设S={1，2， ，14}，T={1，2， ，10}；

P={(a1,a2,a3)|a1,a2,a3∈S, a2-a1≥3, a3-a2≥3}，

Q={(b1,b2,b3)|b1,b2,b3∈T, b1<b2<b3},

f: (a1, a2,a3)→(b1,b2,b3)，其中b1=a1，b2=a2-2，b3=a3-4。

易证f是P和Q之间的一个一一对应，所以题目所求的取法种数恰好等于从T中任意取出三个不同数的取法种数，共 =120种。

例41 在100名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场比赛失败要退出比赛)，最后产生一名冠军，问要举行几场?

分析：要产生一名冠军，需淘汰掉冠军以外的所有其它选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名选手，必须进行一场比赛；反之，每比赛一场恰淘汰一名选手，两者之间一一对应，故立即可得比赛场次99次。 十三、特征分析、试验策略

研究有约束条件的排列数问题，须紧扣题目所提供的数字特征、结构特征，进行推理、分析求解。 例42 由1，2，3，4，5，6六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数。

分析数字特征：6的倍数既是2的倍数，又是3的倍数。其中3的倍数又满足“各个数位上的数字和是3的倍数”的特征，把6个数分成4组(3)，(6)，(1，5)，(2，4)，每组的数字和都是3的倍数，因此可分成两类讨论：第一类：由1，2，4，5，6作数码：首先从2，4，6中任选一个作个位数字有 ，然后其余四个数在其它数位上全排列有 ，所以N1= · 。第二类：由1，2，3，4，5作数码，依上法有N= · 。故N=N1+N2=120(个)。 例43 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100则不同的取法有 （ ）

A．50种 B.100种 C．1275种 D．2500种

分折：此题数字较多，情况也不一样，需要分拆摸索其规律。为了方便，两个加数中以较小的数为被加数，因为1+100=101＞100，1为被加数的有1种；同理，2为被加数的2种； ；49为被加数有49种；50为被加数的有50种，但51为被加数只有49种；52为被加数只有48种； ；99为被加数的只有1种。故不同的取法共有：(1+2+ +50)+(49+48+ +1)=2500种，选D。

例44 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个格填1个，则每个方格的标号与所