初中排列组合公式例题.(5)

处理此类问题应做到不重不漏，即每两类的交集为空集，所有类的并集为合集，因此要求合理分类。

例9 已知集合A和集合B各含12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面的两个条件的集合C的个数：

(1)C A∪B，且C中含有3个元素；

(2)C∩A≠ （ 表示空集)。

分析：由题意知，属于集合B而不属于集合A元素个数为12-4=8，因此满足条件(1)、(2)的集合C可分为三类：

第一类：含A中一个元素的集C有 个；

第二类：含A中二个元素的集C有 个；

第三类：含A中三个元素的集C有 个。

故所求集C的个数是 + + =1084。

有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，分别分配到不同的位置上，对于这类问题的常用解法，是先将元素逐一分组，然后再进行全排列、但在分组时要注意是否为均匀分组。

例10 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护土，不同的分配方法共有 ( )。

A．90种 B．180种 C．270种 D．540种

分析：(一)先分组、后分配：

第一步：将3名医生分成3组，每组一人只有一种分法。

第二步：将6名护士分成3组，每组2人有：( )/ 种分法。

第三步：将医生3组及护士3组进行搭配，使每组有一名医生、2名护士，有 种搭配方法。

第四步：将所得的3组分配到3所不同的学校有 种分配法。

故共有不同的分配方法： · =540(种)。故选(D)。

分析：(二)第一步：先将6名护士分配到3所不同学校，每所学校2名，则有 (种)分法。

第二步：再将3名医生分配到3所不同的学校，每所学校1人，有 种分法。

故共有 =540(种)故选(D)。

说明：处理此类问题应注意准确分步。

三、解排列组台混合问题——采用先选后排策略

对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。

例11 4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有_________种。

简析：这是一个排列与组合的混合问题。因恰有一个空盒，所以必有一个盒子要放2个球，故可分两步进行：第一步选，从4个球中任选2个球，有 种选法。从4个盒子中选出3个，有 种选法；第二步排列，把选出的2个球视为一个元素，与其余的2个球共3个元素对选出的3个盒子作全排列，有 种排法。所以满足条件的放法共有 =144种。

四、正难则反、等价转化策略

对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理。即采用先求总的排列数(或组合数)，再减去不符合要求的排列数(或组合数)，从而使问题获得解决的方法。其实它就是补集思想。

例12 马路上有编号为1、2、3、 、9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_______种。

简析：关掉一只灯的方法有7种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较为复杂，换一个角度，从反面入手考虑。因每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为在6只亮灯中插入3只暗灯，且任何两只暗灯不相邻、且暗灯不在两端，即从6只亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3只暗灯，其方法有=10种。故满足条件的关灯的方法共有10种。

例13 甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被