初中排列组合公式例题.(3)

第一类：0作个位，则有=120。

第二类：0不作个位即5作个位，则 =96。

则共有这样的数为： + =216（个）。

（3）比20300大的数的五位数可分为三类：

第一类：3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有3个；

第二类：21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的4个；

第三类：203xx, 204xx, 205xx, 有3个，

因此，比20300大的五位数共有：3+4 +3 =474（个）。

（4）不含数字0且1，2不相邻的数：分两步完成，第一步将3，4，5三个数字排成一行；第二步将1和2插入四个“空”中的两个位置，故共有=72个不含数字0，且1和2不相邻的五位数。

例7．直线与圆相离，直线上六点A1，A2，A3，A4，A5，A6，圆上四点B1，B2，B3，B4，任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？

解：所得直线最多时，即为任意三点都不共线可分为三类：

第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为=24；

第二类为圆上任取两点所得的直线条数为=6；

第三类为已知直线为1条，则直线最多的条数为N1= ++1=31（条）。

所得直线最少时，即重合的直线最多，用排除法减去重合的字数较为方便，而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便是直线最少条数：N2=N1-2=31-12=19（条）。

解排列组合问题的策略

要正确解答排列组合问题，第一要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题、还是排列与组合混合问题；第二要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理，做到不重不漏；第三要计算正确。下面将通过对若干例题的分析，探讨解答排列组合问题的一些常见策略，供大家参考。

一、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略

对于带有特殊元素的排列问题，一般应先考虑特殊元素、特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，也就是解题过程中的一种主元思想。

例1 用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）

A．24个 B．30个 C．40个 D．60个

解：因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的“特殊”元素，应优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：①当0排在末尾时，有 个；②当0不排在末尾时，三位偶数有 个，据加法原理，其中偶数共有 + =30个，选B。

若含有两个或两个以上的特殊位置或特殊元素，则应使用集合的思想来考虑。这里仅举以下几例：

(1)无关型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集)

例2 用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数?

解：由题意可知，两个特殊位置在首位和末位，特殊元素是“0，首位可取元素的集合A={1，2，3，4，5}，末位可取元素的集合B={0}，A∩B= 。如图1所示。

末位上有 种排法，首位上有 种不同排法，其余位置有 种不同排法。所以，组成的符合题意的六位数是 =120(个)。

说明：这个类型的题目，两个特殊位置上所取的元素是无关的。先分别求出两个特殊位置上的排列数(不需考虑顺序)，再求出其余位置上的排列数，最后利用乘法原理，问题即可得到解决。

(2)包合型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系)