初中排列组合公式例题.(9)

种不同方法。所以名额分配总数是 种。

例35 6人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶汽水，有多少种不同的带法?

解：将问题转化成把10个相同的球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放1个球，有多少种不同的放法?

即把排成一行的10个0分成6份的方法数，这样用5块闸板插在9个间隔中，共有 =126种。

即原问题中有126种不同带法。

例36 对正方体的8个顶点作两两连线。其中异面直线的有( )对。

A．156 B．174 C．192 D．210

分析：由于每一个三棱锥对应于3对异面直线，故可构造三棱锥，问题即特化为正方体8个顶点构成三棱锥的个数，易得异面直线有( -6-6)×3=174(对)，选B。

十二、建立排列组合与集合之间的对应关系的策略

排列组合问题往往因其文字叙述抽象而使学生理解困难，在解决这类问题时，我们通常是根据加法或乘法原理将问题分类或分步逐一计算，然而由于问题的抽象性与复杂性，我们在分类或分步的过程中，经常会出现重复或遗漏的现象。如果我们运用集合与对应的思想来分析和处理这类问题，则能有效地解决上述矛盾。 例37 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的

(1)1不在首位、5在末位的五位数? (2)2，3都与4不相邻的五位数?

解：(1)A={1 在首位的五位数}，B={5 在末位的五位数}，

则原题即求 n( )。

已知n( )=n(B)-n(A∩B)，

易知n(B)= ，n(A∩B)= ,

(即1在首位，5在末位的五位数的个数)，n( )= - =18，

因而满足已知条件的五位数有18个。

(2)设A={2与4相邻的五位数}，B={3与4相邻的五位数}，则原题即求n( )。

由摩根律、容斥原理及性质2，

有n( )=n( )=n(I-A∪B)=n(I)-n(A∪B)=n(I)-n(A)-n(B)+n(A∩B)

= =36，即有36个满足已知条件的数。

说明：其中n(I)表示由数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数的个数，即它们的全排列数，n(A∩

B)表示2与4相邻且3与4相邻的五位数的个数，那么4一定排在2与3之间，且2，4，3相邻，故有 种排法。 例38 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不同的填法有多少种?

解：设Ai(i=1,2,3,4)表示i填在标号为i的方格内，且其余格子都填满的所有填法的集体，

则原题即求n ，由摩根律及容斥原理，有

n

=n( )

=n(I)-n(A1∪A2∪A3∪A4)

=n(I)- (Ai∩Ah∩Aj)+n(A1∩A2∩A3∩A4)

= 。

即有9种填法。

说明：系数 代表从集合A1、A2、A3、A4中每次取出1个、2个、3个、4个组成交集的个数，

例39 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形下各有多少种选派方法?

(1)队长至少有1人参加；(2)既要有队长，又要有女运动员。