初中排列组合公式例题.(6)

淘汰，胜者再与负方2号队员比赛， 直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成—种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程共有多少种?

解：设甲队队员为a1，a2, a7，乙队队员为b1，b2, ，b7，下标表示事先安排好的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序，比赛过程可类比为这14个字母互相穿插的一个排列，最后是胜队中获胜队员和可能未参赛的队员。如a1a2b1b2a3b3b4b5a4b6b7a5a6a7。所表示为14个位置中取7个位置安排甲队队员，其余位置安排乙队队员，故比赛过程的总数为 =3432。

例14 有2个a，3个b，4个c 共九个字母排成一排，有多少种排法?

分析：若将字母作为元素，1—9号位置作为位子，那么这是一个“不尽相异元素的全排列”问题，若转换角色，将1—9号位置作为元素，字母作为位子，那么问题便转化成一个相异元素不许重复的组合问题。 即共有 =1260(种)不同的排法。

有些问题反面的情况为数不多，容易讨论，则可用剔除法。

对有限制条件的问题，先以总体考虑，再把不符合条件的所有情况剔除。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题策略。

例15 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )

A．150种 B．147种 C．14种 D．141种

分析：在这10个点中，不共面的不易寻找，而共面的容易找。因此，采用剔除法，由10个点中取出4个点的组合数( 减去4个点共面的个数即为所求)。4点共面情形可分三类：

第一类：四面体每个面中的四个点共面，共有 4× =60种；

第二类：四面体的每2组对棱的中点构成平行四边形，则这四点共面，共有3种；

第三类：四面体的一条棱上三点共线，这三点与对棱中点共面，共有6种。故4点不共面的取法有 -(4 +6+3)=141种。

例16 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种。

解：从这10个数中取出3个不同的偶数的取法有 种；取1个偶数和2个奇数的取法有 种。另外，从这10个数中取出3个数，使其和为小于10的偶数，有9种不同取法。

因此，符合题设条件的不同取法有 + -9=51种。

五、解相邻问题——采用“捆绑”策略

对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再在相邻元素之间排列。

事实上，这种方法就是将相邻的某几个元素，优先考虑。让这些特殊元素合成一个元素，与普通元素排列后，再松绑。

例17 A，B，C，D，E五人并排站成一排，如A，B必相邻，且B在A右边，那么不同排法有 （ ）

A．24种 B．60种 C．90种 D．120种

分析：将特殊元素A，B按B在A的右边“捆绑”看成一个大元素，与另外三个元素全排列 ，由A，B不能交换，故不再“松绑”，选A。

例18 5人成一排，要求甲、乙相邻，有几种排法?

解：将甲、乙“捆绑”成一个元素，加上其他3元素，共4元素，全排列有 种，甲、乙内部的排列有 种。故共有 =48种。

也可以这样理解：先让甲、丙、丁、戊，排成一列有 种，再将乙插入甲的左边或右边，有 种，共 =48种。 例19 计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种? ( )

A、 B、 C、 D、

分析：先把3种品种的画各看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有 种放法，再考虑油画与国画本身又可以全排列，故排列的方法为 ，故选D。