饱和多孔介质流固耦合渗流的数学模型(3)

李培超等:饱和多孔介质流固耦合渗流的数学模型

421

诸多流固耦合渗流文献[6,7,8]所采用或者建立的模型中都忽略了这个重要的事实,即没有考虑孔隙度和渗透率的动态变化,这可能因为是受到经典渗流力学的影响疏忽所致。在经典渗流力学中,认为固体骨架不产生任何弹性或者塑性变形,自然不必考虑孔隙度和渗流率的动态变化。

文献[11]中提出,实现流固耦合渗流数值模拟的关键问题之一是如何建立流固耦合作用下的物性参数动态模型;并给出了用于计算孔隙度和渗透率的动态模型,但是该模型仍有些不尽合理的地方。

我们在文献[11]的基础上进行如下分析推导:

多孔介质固体骨架(Skeleton)体积用Vs表示,其变化我们用$Vs表示;多孔介质外观体积(BulkVolume)用Vb表示,其变化用$Vb表示;多孔介质孔隙体积(PoreVolume)用Vp表示,其变化用$Vp表示。

根据孔隙度的定义,我们有

Vp0+$VpVs0+$Vs

U==1-=

Vb0+$VbVb0+$Vb

Vs0(1+$Vs/Vs0)

=

Vb0(1+$Vb/Vb0)(1-U0)

(1+$Vs/Vs0)

1+EV

U=

U0+Ep/KsV+(1-U0)$

1+EV

(7)

1-U=1-0(1+$Vs/Vs0)=

1+EV

$Vs/Vs0=-$p/Ks+BTs$(5)式代入(3)式,有

(5)

$Vs/Vs0=BTs$

综合以上两者因素,我们有

0(1-$p/Ks+BT)s$1+EV

(6)

这里,$p=p-p0,$T=T-T0。

假定地层为等温,那么有

1-

U0+EV

。

1+EV

分析此式,如果存在U=U0,那么只有两种情况:U0=1(可认为是纯流体)或者E除V=0(无体应变)。此之外,没有U=U0的出现。

在等温的情形下,文献[11]给出U=

(3)

而实际上这并不是完全符合物理实际的[10]。分析式(7),除了上述的U0=1外,如果有-$p/Ks=EV,那么也可以有U=U0。

这种情况实际上就是同步变形的情形。也就是

(4)

说固体骨架的体积应变等于多孔介质总的体积应变,也等于孔隙体积的应变,即$Vs/Vs=$Vb/Vb=$Vp/Vp。图形可见图1。

1-

如果假定$Vs=0代入上式,可得到

U(1-U0+EV0)

U=1-=

1+E1+EVV

这与文献[11]的结论是一致的,然而实际上,即使不考虑温度场的影响,固体颗粒本身的体积也是

变化的,即肯定有本体变形[10],通常固体颗粒可认为是弹性体,所以本体变形通常是弹性变形,当然也可以是弹塑性变形。

如果认为固体颗粒是弹性变形,下边考虑孔隙流体压力对颗粒体积变形的影响。

因孔隙流体压力变化而引起的固体颗粒体积变化为

$Vs/Vs0=-$p/Ks

这种情形在自然界中显然是存在的,而文献

[11]并不能解释此现象。

再者,对于EV=0,代入其表达式,有U=U0+U0)p/s[图1 骨架的本体变形