高等数学常微分方程讲义,试题,答案(5)

dx d2x

0变换为y＝y（x）满足的微分方程； （1） 试将x＝x（y）所满足的微分方程2 y sinx dy dy

（2） 求变换后的微分方程满足初始条件y（0）＝0，y 0

3

3

的解. 2

解 （1）由反函数导数公式知

dx1dx 即y 1.

dyydy

dxd2x2

上式两端关于x求导，得 y 2 y

dydy

代入原微分方程得y y sinx （*）

dxy 2

dxy dy

。 0.所以2 23

dyy y （2）方程（*）所对应的齐次方程y y 0的通解为Y C1ex C2e x 设方程（*）的特解为y＝A cosx+ Bsinx ，

__

11

代入方程（*）求得A＝0，B＝－，故y＝－sinx，从而y y sinx的通解是

221

y(x) C1ex C2e x sinx.

2

3

由y(0) 0,y 0 ，得C1 1,C2 1，

2

1x x

故所初值问题的解为y(x) e e sinx.

2

__

例7．设f（x）＝xsinx－ (x t)f(t)dt，其中f（x）连续，求f（x）

x

解：由表达式可知f（x）是可导的，两边对x求导，则得f x xcosx sinx 再对两边关于x求导，得 f x xsinx 2cosx f(x)

即 f x f x xsinx 2cosx 属于常系数二阶非齐次线性方程. 对应齐次方程通解 y C1cosx C2sinx，

f t dt

x

非齐次方程特解设y x Ax B cosx x Cx D sinx 代入方程求出系数

__

__

A,B,C,D 则得

y

123

xcoxs xsixn，故f（x）的一般表达式 4413

f(x) x2cosx xsinx C1cosx C2sinx

44

123

xcosx xsinx 44

由条件和导数表达式可知f（0）＝0，f 0 0可确定出C1 0,C2 0因此f(x)

x

2x

x

x

例8 已知y1 xe e，y2 xe e，y3 xex e2x e x是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.

解：由线性微分方程的解的结构定理可得，

y1 y3 e x，y1 y2 e2x e x， y1 y3 y1 y2 e2x