高等数学常微分方程讲义,试题,答案(3)

线性方程的一个特解y如何求？

我们根据f(x)的形式，先确定特解y的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解y,常见的f(x)的形式和相对应地y的形式如下： 1、f(x) pn(x), 其中pn(x)为n 次多项式

（1）若0不是特征根，则令y Rn(x) a0xn a1xn 1 an 1x an其中ai(i 0,1,2, ,n)为待定系数。 （2）若0是特征方程的单根，则令y xRn(x) （3）若0是特征方程的重根，则令y x2Rn(x) 2、f(x) pn(x)e x 其中pn(x)为n次多项式， 为实常数

（1）若 不是特征根，则令y Rn(x)e x （2）若 是特征方程单根，则令y xRn(x)e x （3）若 是特征方程的重根，则令y x2Rn(x)e x

3、f(x) pn(x)e xsin x或f(x) pn(x)e xcos x 其中pn(x)为n次多项式， , 皆为实常数 （1）若 i 不是特征根，则令 e x[Rn(x)cos x Tn(x)sin x] 其中Rn(x) a0xn a1xn 1 an 1x an ai(i 0,1, n)为待定系数

Tn(x) b0xn b1xn 1 bn 1x bn bi(i 0,1, n)为待定系数

（2）若 i 是特征根，则令y xe x[Rn(x)cos x Tn(x)sin x] 五、欧拉方程（数学一）

xny(n) p1xn 1y(n 1) pn 1xy pny 0, 其中pi(i 1,2, ,n)为常数称为n阶欧拉方程，令x et代入方程，

变为t是自变量，y是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线性微分方程 （乙） 典型例题

例1 求(1 x)y y ln(x 1)的通解

解：令y p,则y p ,原方程化为(x 1)p p ln(x 1)

p

1ln(x 1)p 属于一阶线性方程 x 1x 1

dx ln(x 1) x1 C11 1

ln(x 1)dx C ln(x 1) 1 dx C 11 x 1x 1 x 1

p e

1

dxx 1

C

y ln(x 1) 1 1 dx C2 (x C1)ln(x 1) 2x C2

x 1

例2 求下列微分方程的通解 yy (y ) 1 0

2