高等数学常微分方程讲义,试题,答案(4)

解 令y p,则y p

dp

，原方程化为 dy

yp

dp

p2 1 dy

1pdpdy2

lnp ln|y| C1 C12 2yp 1

dy

C1y2 dx

p C1y2

当C1 01C11

lnC1y C1y2 x C2

当C1 0 C1

arcsin C1y x C2

例3 求y 2y 3y 2ex的通解

解 先求相应齐次方程y 2y 3y 0的通解，其特征方程为 2 3 0 特征根为 1 3, 2 1，因此齐次方程通解为Y C1e

3x

2

C2ex

1

，故原方程的通解为 2

设非齐次方程的特解为y,由于 1为特征根，因此设y xAex,代入原方程可得A

y C1e 3x C2ex

1xxe 2

例4 求方程y y 2y 2cos2x的通解

特征根为 1 2, 2 1，因此齐次方程的通解为Y C1e

2x

C2ex

设非齐次方程的特解为y,由于题目中 0, 2, i 2i不是特征根，因此设y Acos2x Bsin2x，代入原方程可得( 2A 2B 4A)cos2x ( 2B 2A 4B)sin2x 2cos2x

6A 2B 2

6B 2A 0

__

3131

sin2x 解联立方程得A ,B ，因此y cos2x

10101010

31 2x

C2ex cos2x sin2x 故原方程的通解为 y C1e

1010

例5 解y cosx 2y sinx 3ycosx e

x

解：令u＝ycosx，则u y cosx ysinx,u y cosx 2y sinx ycosx，原方程变为u 4u e

x

sin2x 解出 u C1cos2x C2

1x

e 5

cos2xsin2x1excos2x1ex

) y C1 C2 C2sinx (c2 2c2＝C1

cosxcosx5cosxcosx5cosx

例6 设函数y＝y（x）在 , 内具有二阶导数，且y 0,x x y 是y＝y（x）的反函数.