高等数学常微分方程讲义,试题,答案(6)

是该方程对应的齐次方程的解，由解e

x

与e

2x

的形式，可得齐次方程为y y 2y 0.

设该方程为y y 2y f(x)，代入y1 xex e2x，得f x 1 2x ex. 所以，该方程为y y 2y 1 2x ex， 其通解为 C1e x C2e2x xex e2x.

§4.3 微分方程的应用

一、微分方程在几何问题方面的应用

例1 求通过（3，0）的曲线方程，使曲线上任意点处切线与y轴之交点与切点的距离等于此交点与原点的距离。 解：设曲线y＝（yx）上任意一点M（x，y），则其切线方程为Y－y＝y X x ，故切线与y轴交点A的坐标为 0,y xy ，

由题意AM AO 所以x2 xy

__________

2

12

2yy y x 2

x y xy .这样，

yx 3 0

1 u u x 2

令y u, x

ux 3 0

3 3 2

解得 u 3x x，即y2 3x x2，则 x y2

2 2

例 2 设函数f（x）在 1, 上连续，若曲线y＝f（x），直线x＝1，x＝t（t>1）与x轴围成平面图形绕x轴旋转一周

22

所成旋转体的体积V（t）＝解：由题意可知

t

3

2

f t f 1 ，试求y＝f（x）所满足的微分方程，并求y

x 2

2

的解. 9

V t f2 x dx

1

t

t3

2

f t f 1 则3 f2 x dx t2f t f 1

1

t

两边对t求导，3f

2

t 2tf t t2f t t＝x，f（t）＝f（x）＝y，得

2

ydydudy y y

u x， x2y 3y2 2xy， 3 2 令u ,y xu,

xdxdxdx x x

这样，x

du

3u u 1 ，当u 0,u 1时 dx

u 1dudx

cx3，方程通解为 3 两边积分后得uuu 1x

y x cx3y，再由y

二、其它应用（略）

x 2

x2

，可得c＝-1 y 3

1 x9