学而思 小升初第6讲_小升初专项训练_找规律篇(4)

学而思 小升初第6讲_小升初专项训练_找规律篇

【例3】、（★★★）某人连续打工24天，赚得190元(日工资10元，星期六做半天工，发半工资，星期日休息，无工资).已知他打工是从1月下旬的某一天开始的，这个月的1号恰好是星期日. 问：这人打工结束的那一天是2月几日?

【来源】 第五届“华杯赛”初赛第16题

【解】因为3×7<24<4×7，所以24天中星期六和星期日的个数，都只能是3或4.又，190是10的整数倍。所以24天中的星期六的天数是偶数.再由240-190=50(元)，便可知道，这24天中恰有4个星期六、3个星期日.星期日总是紧接在星期六之后的，因此，这人打工结束的那一天必定是星期六.由此逆推回去，便可知道开始的那一天是星期四.因为1月1日是星期日，所以1月22日也是星期日，从而1月下旬唯一的一个星期四是1月26日.从1月26日往后算，可知第24天是2月18日，这就是打工结束的日子. 2 图表中的找规律问题

【例4】、（★★）将自然数1，2，3，4， 按箭头所指方向顺序排列(如图)，依次在2， 3，5，7，10， 等数的位置处拐弯.

(1)如果2算作第-次拐弯处，那么，第45次拐弯处的数是 . (2)从1978到2010的自然数中，恰在拐弯处的数是

.

【来源】 北京市第十二届“迎春杯”决赛第三题第3题

【解】 (1)仿照E1—026，画23条竖线，23条横线，第45次拐弯处的数是23×23+1=530 (2)拐弯处的数是n×n+1或n×(n+1)+1(n是自然数).由于 44×44+1=1937<1978，45×45十1=2026>2010，

44×45+1=1981在1978、2010之间.所以恰在拐弯处的数是1981.

【解】 根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是，B=891÷(9×9)=11.

【例5】（★★★）自然数如下表的规则排列：求：（1）上起第10行，左起第13列的数；

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（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？

【解】：本题考察学生“观察—归纳—猜想”的能力．此表排列特点：①第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于所在行数的平方；②第一行第n个数是（n-1）2+1，②第n行中，以第一个数至第n个数依次递减1；④从第2列起该列中从第一个数至第n个数依次递增1．

由此（1）〔（13-1）2+1〕+9=154；（2）127=112+6=〔（12-1）2+1〕+5，即左起12列，上起第6行位置．

3 较复杂的数列找规律

【例6】、（★★★）设1，3，9，27，81，243是6个给定的数。从这六个数中每次或者取1个，或者取

几个不同的数求和（每一个数只能取1次），可以得到一个新数，这样共得到63个新数。把它们从小到大一次排列起来是1，3，4，9，10，12， ，第60个数是______。 【来源】1989年小学数学奥林匹克初赛第15题 【解】最大的（即第63个数）是 1+3+9+27+81+243=364

第60个数（倒数第4个数）是 364－1－3＝360。

【例7】、（★★★）在两位数10，11， ，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加-个

小数点，其余的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少? 【来源】 第五届“华杯赛”初赛第15题 【解】原来的总和是10+11+ +98+99=

(10 99) 90

2

=4905，被7除余2的两位数是

7×2+2=16，7×3+2=23， ，7×13十2=93.

共12个数.这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的10，因此这-手续使总和减少了 1(16+23+ +93)×(1-)=

(16 93) 12

2

9×=588.6

所以，经过改变之后，所有数的和是4905—588.6=4316.4.

【例8】、（★★★）小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出之后，经过1分钟有-半

破了，经过2分钟还有20没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了·小明在第20次吹出100个新的肥皂

泡的时候，没有破的肥皂泡共有 个.

【来源】 1990年小学数学奥林匹克决赛第8题

【解】小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，第17次之前(包括第17次)吹出的肥皂泡全破了.此

时没有破的肥皂泡共有 100+100×20+100×=155(个). 2

4 与斐波那契数列相关的找规律

【引言】：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。

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已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？

现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。 第1个月到第6个月兔子的对数是： 1，2，3，5，8，13。

我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内1对兔子能繁殖成233对。

在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。

【例9】（★★）数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，问15年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？

【解】 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584 绝对是一棵大树。

【例10】（★★）有一堆火柴共 10根，如果规定每次取 1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？

【解】此题要注重思路，因为没办法直接考虑，这样我们发现这题同样用找规律的方法，我们可以先看只有1根的情况开始： 1根，有：1种；

2根，有1、1，2，共两种；

3根，可以有：1、1、1，1、2，2、1，3，共4种；

4根，有：1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共7=4+2+1种；

5根，有：1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共13=7+4+2种； 6根，得到24=13+7+4种；

即：n根，所有的取法种数是它的前三种取法的和。 由此得到，10根为274种。 [拓展]爬楼梯问题。

【例11】（★★★）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到得数为1操作停止。问经过9次操作变为1的数有多少个？ 【来源】 仁华考题

【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法，其次我们还得利用找规律来归纳出计算方法。在复杂的或者步子比较多的计数中，找规律是一种非常常用的方法。 归纳总结上述规律，从第三项起，每一项都是前两项之和。