立体几何中的排列组合问题解法举隅(2)

解 分三类：

5

①如果用5种颜色有A5种染色方法.

D

图1

B

②如果用4种颜色，只能是底面四边形相对顶点同色. 如图1，如果A、C同色，只要考虑染S、A、B、D四顶点，有A54种染法，而B、D同色仍有A54种染

法，用四色共有2A54种染法.

3

③如果用3种颜色，A、C同色，B、D同色，只要考虑S、A、B三个顶点，有A5

种染法.

53

由加法原理知共有A5＋2A54＋A5＝420种染法.

三、剔除求解

例4 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）

A. 150种 B.147种 C.144种 D.141种

4

解 从10个点中任取4点，有C10种取法，再剔除掉共面的取法.

44① 共面的四点在四面体的某一个面内，有C6种取法，4个面共有4C6种；② 每

条棱上的三个点与其对棱的中点四点共面，有6种；③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面，有3种.

44故不共面的取法共有C10－4C6－6－3＝141种，故选D.

例5 已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）以正方体顶点为顶点的四面体有多少个？（2）从8个顶点中取出3个顶点，使至少有两个顶点在同一棱上，其取法种数为多少？（3）过8个顶点中任两点的直线与直线A1B异面的有多少条？

C1 D1

AB 图2

2

1

解 （1）从所有四点的组合中去掉共面的组合，6个表面四点共面，6个对角面四点共面. 所以共有四面体C84-12＝58个.

D