立体几何中的排列组合问题解法举隅(3)

（2）如图2， A1BD这样的三点不能满足题意，可以认为这个三点组合与顶点A对应，正方体有8个顶点，每个顶点对应一个不合题意的三点组合. 所以满足题

3意的三点取法共有C8－8＝48种.

2（3）在8个顶点取2个的组合中，去掉侧面ABB1A1中的两点组合有C4个，再去

掉过A1不在面ABB1A1内的四条直线与过B的4条直线，还要去掉与之平行的D1C.

2所以共有C82 C4 4 4 1＝13条.

四、构造模型求解

例6 与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？

解 由题设条件，空间不共面的四点可构成四面体，考虑四面体的四个顶点在所求平面两侧的分布，易知当所求平面位于三棱锥的顶点与底面之间时有4个；当所求平面位于三棱锥相对棱之间时有3个. 故所求平面有7个. 例7 在正方体八个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？

解 构造四面体求解，因为四面体的6条棱可构成3对异面直线，从而只要求出正方体的八个顶点可构成几个四面体即可，而这恰好是本文例5（1），故可得到

(C84 12) 3 174对异面直线. 五、联想有关命题求解

例8 以长方体的八个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为（ ）

A.0 B.6 C.8 D.24

解 联想课本习题：“将正方体截去一角，求证：截面是锐角三角形. ”易知从长方体的一个顶点出发的三条棱的另3个端点可构成锐角三角形，长方体有8个顶点，从而可构成8个锐角三角形，故选C.

六、综合有关知识求解

例9 以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有（ ）

E1

1

A.200个 B.190个 C.185个 D.180个

E

图3

C

3