立体几何中的排列组合问题解法举隅(4)

4

解 正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C10＝210

个四面体，其中四点在同一平面内的有三类：

4① 每一底面的5点中选4点的组合方法有2C5个.

② 5条侧棱中的任意两条棱上的四点有C52个.

③一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行（例如AB∥E1C1），这样

1共面的四点共有2C5个.

4421

故四面体的个数为C10＝180个，故选D. 2C5 C5 2C5

例10 用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？

解 结合图3，以不同类型的四棱锥的底面分类可得：

1① 以棱柱的底面为四棱锥底面的共有2C54C5个. 11②以棱柱的侧面为四棱锥底面的共有C5个. C611③以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有C5个. C6

11④以图3中ABC1E1（为等腰梯形）为四棱锥底面的共有2C5个. C61111111故可构成的四棱锥共有2C54C5＋C5＋C5＋2C5＝170个. C6C6C6

例11 以四棱柱的顶点为顶点的三棱锥有多少个？

解 本题要讨论底面的形状，所求的答案与底面的形状有关. ①若底面不是梯形，也不是平行四边形，则有C84－6－2＝62个. ② 若底面是梯形，则有C84－6－4＝60个. ③ 若底面是平行四边形，则有C84－6－6＝58个. 综上所述，所求三棱锥的个数为62或60或58.

4