高三数学 数列的概念与简单表示法2(4)

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索发现真理的重要手段。 题型2 周期数列

例2 数列{a n }中，a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1(n ＝1,2，…)，A n 表示数列{a n }的前n 项之积，则求A 2019。

解：可求出a 1＝3，a 2＝23，a 3＝－12，a 4＝3，a 5＝23，a 6＝－1

2

，…，数

列{a n }每3项重复一次，可以理解为周期数列，由2019＝668×3＋1且a 1×a 2×a 3＝－1，则

A 2019＝(a 1×a 2×a 3)…(a 2019×a 2019×a 2019)×a 2019 ＝(a 1×a 2×a 3)668a 1＝3.

变式训练1 在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 1000＝( D )

A ．5

B ．－5

C ．1

D ．－1 解：由a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….此数列为周期数列，由此可得a 1000＝－1. 小结与拓展：1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）。

题型3 数列与函数、方程的融合——单调性等 例3 已知函数)(x f ＝2x －2－x ，数列{a n }满足)(log 2

n a f ＝－2n ，求数列

{a n }通项公式．解：n

a f n a n a n 222)(log

2log 2log 2

-=-=-n a a n

n 21

-=-

得n

n a

n

-+=12变式训练3 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝na

(n ＋1)b ，其中a 、b 均

为正常数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是 ( B )

A ．a n ＞a n ＋1

B ．a n ＜a n ＋1