专题1：数列及其数列求和(5)

数列及其数列求和

裂项求和法：

例2 求和：1 解： ak

1111 ,(n N*) 1 21 2 31 2 3 41 2 3 n

12

，

1 2 kk(k 1)111 ] 1 22 3n(n 1)

1 11

2 23

1 1 1

2 1

nn 1n 1

Sn 2[

2[ 1

分部求和法：

例3 已知等差数列 an 的首项为1，前10项的和为145，求a2 a4 a2n. 解：首先由S10 10a1

10 9 d

145 d 3 2

n

则an a1 (n 1)d 3n 2 a2n 3 2 2

2(1 2n)

2n 3 2n 1 2n 6 a2 a4 a2n 3(2 2 2) 2n 3

1 2

2

n

倒序相加法：

例4 设数列 an 是公差为d，且首项为a0 d的等差数列，求和：

01n

Sn 1 a0Cn a1Cn anCn

01n

解：因为Sn 1 a0Cn （1） a1Cn anCn

nn 10

（2） Sn 1 anCn an 1Cn a0Cn

（1）+（2）得

01n

2Sn 1 (a0 an)Cn (a1 an 1)Cn (an a0)Cn

01n

(a0 an)(Cn Cn Cn) (a0 an)2n

Sn 1 (a0 an) 2n 1 常规题型：

例1．已知数列 an 中，Sn是其前n项和，并且Sn 1 4an 2(n 1,2, ),a1 1，

⑴设数列bn an 1 2an(n 1,2, )，求证：数列 bn 是等比数列；