数值分析论文(5)

即有效数字位数越多，则x的绝对误差与相对误差越小。

例3 已知近似数的相对误差限为0.3％，问x*至少有几位有效数字？

解 设a1是１到９之间的数字，则有

*r x 0.3%

3111 1 1

10 1010002 1022 9 12a1 1

*

设x*具有n位有效数字，令 n 1 1，则n 2，从而x*至少具有２位有效数字。

5 误差定性分析与避免误差危害

数值运算中的误差分析是个很重要而复杂的问题。一个工程或科学计算问题往往要运算千万次，由于每步运算都有误差，如果每步都做误差分析是不可能的，也不科学，因为误差积累有正有负，绝对值有大有小，按照最坏情况估计误差限得到的结果比实际误差大很多，这种保守的误差估计不反映实际误差积累。考虑到误差分布的随机性，有人用概率统计方法，将数据和运算中的舍入误差视为适合某种分布的随机变量，然后确定计算结果的误差分布，这样得到的误差估计更接近实际，这种方法称为概率分析法。

20世纪60年代以后对舍入误差估计提出了一些新方法，较重要的是威尔金森的向后误差分析法和穆尔的区间分析法。但都不是十分有效，到目前为止舍入误差的定量估计尚无有效的分析方法，为确保数值计算的正确性通常只进行定性分析。

一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的；否则称此算法是不稳定的。

6 为了避免误差危害，在数值计算中应注意的一些问题：

（1）要使用数值稳定的计算公式； （2）要避免两个相近的数相减；

（3）要避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值； （4）要防止大数“吃掉”小数的现象； （5）要尽量简化计算步骤，减小运算次数。

三、数值计算中算法的设计