河南省郑州四中2013届高三下学期第六次调研考试(10)

因此，f(x)在x 1 a处取得最小值，故由题意f(1 a) 1 a 0,所以

a 1. 4分

(2)解:当k 0时,取x 1,有f 1 1 ln2 0.故k 0不合题意. 5分 当k 0时,令g x f x kx,即g x x ln x 1 kx.

2

2

g' x

xx 1

2kx 1 2k

x 2kx 1 2k

x 1

.令g' x 0,

得x1 0,x2 ①当k

12

时,

2k1 2k2k

1. 6分

0. g' x 0在 0, 上恒成立,因此,g x 在 0, 上单调递减.从而对于

2

任意的的x 0, ,总有g x g 0 0,即f x kx在 0, 上恒成立. 故k

12

符合题意. 7分

②当0 k

12

时,

1 2k2k

1 2k ' 1 2k

gx,故在 0,对于x 0,,gx 0 0, 内单调递增.因

2k 2k

此当x0 0,

1 2k 2

时,g x0 g 0 0,即f x0 kx0不成立. 2k

故0 k

12

不合题意.

综上,k的最小值为

12

. 8分

(3)证明:当n 1时,不等式左边 2 ln3 2 右边.所以不等式成立. 9分 当n 2时,

i 1

n

nnn

22 2 2

f ln 1 ln 2i 1 ln 2i 1

2i 1 i 12i 1i 1 2i 1 i 1 2i 1 n

i 1

22i 1

ln 2n 1 10分