拆项法求数列和(12)

资料

证明：（I）

1

1,x (0,1]1 x

f(x) |1 |

故f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0<a<b且f(a)=f(b)得x 1 1,x (1, )

x

0<a<1<b和

1a

1 1

1b

,即

1a

1b

2 2ab a b 2ab

故ab 1,即ab 1

（II）0<x<1时，y f(x) |1

1x

|

1x

1, f(x0)

'

1

x0

2

,0 x0 1

曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为：

y y0

1

x0

2

(x x0),即y

x

x0

2

2 x0x012

∴切线与x轴、y轴正向的交点为(x0(2 x0),0)和(0,

1x0

(2 x0)

故所求三角形面积听表达式为：A(x0) x0(2 x0)

1x0

(2 x0)

12

(2 x0)

2

43．(2004年江苏高考第22题)

本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.

证明：（I）任取x1,x2 R,x1 x2,则由 (x1 x2)和|f(x1) f(x2)| |x1 x2| ②

可知 (x1 x2) (x1 x2)[f(x1) f(x2)] |x1 x2| |f(x1) f(x2)| |x1 x2|， 从而 1. 假设有b0 a0,使得f(b0) 0,则由①式知

2

2

2

2

(x1 x2)[f(x1) f(x2)]

0 (a0 b0) (a0 b0)[f(a0) f(b0)] 0矛盾.

∴不存在b0 a0,使得f(b0) 0.

（II）由b a f(a) ③ 可知 (b a0)

2

[a a0 f(a)]

2

(a a0) 2 (a a0)f(a) [f(a)] ④

2

222

由f(a0) 0和①式，得(a a0)f(a) (a a0)[f(a) f(a0)] (a a0) ⑤ 由f(a0) 0和②式知，[f(a)]由⑤、⑥代入④式，得 (b a0)

22

2

[f(a) f(a0)]

2

2

2

(a a0) ⑥

2

2

2

2

(a a0) 2 (a a0) (a a0)

2

(1 )(a a0) （III）由③式可知[f(b)]

2

2

[f(b) f(a) f(a)]

2

2

[f(b) f(a)] 2f(a)[f(b) f(a)] [f(a)] (b a) 2 [f(a)]

2

2

2

2

2

b a

2

[f(b) f(a)] [f(a)] （用②式）

2

2

2

(b a)[f(b) f(a)] [f(a)] (b a) [f(a)] （用①式）

2

2

2

[f(a)

=l

2

[f(a)]-2l

2

[f(a)]+[f(a)]

22