三角函数化简求值专题复习二(4)

∴ 故当sin 时，(sin2 sin2 )min ,(sin2 sin2 )无最大值

【变式】设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的最大值.

a2a2 4a 2

解：由y=2(cosx－)－及cosx∈［－1，1］得：

22

1 (a 2)

2 a

2a 1 ( 2 a 2) f(a) 2

1 4a (a 2)

23122912

1

的a值，并对此时的a值求y2

111

,∴1－4a= a= ［2,+∞) 228a21故－－2a－1=，解得：a=－1，此时，

22

11

y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.

22

∵f(a)=

【例5】（角的变换）已知

解：∵

3ππ123

＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________. 24135

ππ3π3π

＜β＜α＜,∴0＜α－β＜.π＜α+β＜, 2444

54

,cos(α β) sin2(α β) . 135

∴sin(α－β)= cos2(α β)

∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］

=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) 5412356 ( ) ( ) . 13513565【变式】（1）已知8cos(2α+β)+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值； （2）已知

2sin cos

5，求3cos2 4sin2 的值。

sin 3cos

解：（1）从变换角的差异着手。 ∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α ∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0 展开得：13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0 同除以cos(α+β)cosα得：tan(α+β)tanα=（1）以三角函数结构特点出发 ∵

13

3

2sin cos 2tan 12tan 1

∴ 5 ∴ tanθ=2

sin 3cos tan 3tan 3

3(cos2 sin2 ) 8sin cos

sin2 cos2

3 3tan2 8tan

1 tan2

7

5

∴ 3cos2 4sin2

【例6】已知奇函数f(x)的定义域为实数集,且f(x)在[0, )上是增函数，当0

2

时，是否存在这样的实数m，