《高考数学总复习系列》高中数学必修1(11)

ⅲ）当a>

1

时，a>1-a，由②得x>1-2a， 2

所以不等式组的解集为1-a<x<a. 又不等式组的整数解恰有2个， 所以a-(1-a)>1且a-(1-a)≤3，

所以1<a≤2，并且当1<a≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。 综上，a的取值范围是1<a≤2. 14．充分性与必要性。

例9 （经典例题） 设定数A，B，C使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ①

对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件）

【解】 充要条件为A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA). 先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0 ②

若A=0，则由②对一切x,y,z∈R成立，则只有B=C，再由①知B=C=0，若A 0，则因为②恒成立，所以A>0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA) 同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。

再证充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)，

1）若A=0，则由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。 2）若A>0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。 综上，充分性得证。 15．常用结论。

定理1 若a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.——绝对值不等式

【证明】 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m>0，则-m≤x≤m等价于|x|≤m）. 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,

即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。

定理2 若a,b∈R, 则a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,则x+y≥2xy.

注 定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。

第三章、基本初等函数

一、基础知识（必会）

1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a 1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0<a<1时，y=ax是减函数，当a>1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。

1 n1

2．分数指数幂：a a,a a,a n,a。

maa

3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a 1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，

m

n

1nmn

m

图象过定点（1，0）。当0<a<1，y=logax为减函数，当a>1时，y=logax为增函数。 4．对数的性质（M>0, N>0）； 1）ax=M x=logaM(a>0, a 1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N；

M

）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M（万能恒等式） N

logcb1

5）loga M=loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c>0, a, c 1).

logcan

a

5. 函数y=x+（a>0）的单调递增区间是 , a和a, ，单调递减区间为 a,0和0,a。

x

3）loga（