《高考数学总复习系列》高中数学必修1(7)

二、基础例题（必懂）

1．数形结合法。

例1（09.江西） 求方程|x-1|=【解】 分别画出y=|x-1|和y=方程有一个正根。 [来源:]

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例2 （2010.广西模拟） 求函数f(x)=x 3x 6x 13

1

的正根的个数. x

1

的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以x

x4 x2 1的

2

最大值。

【解】 f(x)=(x 2) (x 3) (x 1) (x 0)，记点P(x, x-2)，A（3，2），B（0，1），则

2

2

2

2

2

f(x)表示动点P到点A和B距离的差。

22

因为|PA|-|PA|≤|AB|=3 (2 1) ,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。

所以f(x)max=.

2.函数性质的应用。

2

(x 1) 1997(x 1) 1

例3 （10、全国） 设x, y∈R，且满足 ，求x+y. 3

(y 1) 1997(y 1) 1

【解】 设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若a<b，则

f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0，所以f(t)递增。 由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.

例4 （10、全国） 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围。 【解】 因为f(x) 是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)<f(a2-1)。 又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-1<1-a<a2-1<1，解得0<a<1。

例5 （10、全国） 设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z, 用Ik表示区间(2k-1, 2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。 【解】 设x∈Ik，则2k-1<x≤2k+1， 所以f(x-2k)=(x-2k)2.

又因为f(x)是以2为周期的函数， 所以当x∈Ik时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.

例6 （10·全国） 解方程：(3x-1)(9x 6x 5 1)+(2x-3)(4x 12x 13+1)=0. 【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化为

m(m 4+1)+n(n 4+1)=0. ①

若m=0，则由①得n=0，但m, n不同时为0，所以m 0, n 0.

ⅰ)若m>0，则由①得n<0，设f(t)=t(t 4+1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=.

2

2

2

2

2

4

5