《高考数学总复习系列》高中数学必修1(13)

4 4

所以9 t +12 t =16 t，即1+ .

3 3

q12t 4 1 记x= t ，则1+x=x2，解得x .

p92 3

又

例5 （经典例题）对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且证：a+b=c.

【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.

t

t2t

qq1 5>0，所以=.

2pp

1111

，求xyzw

111111

lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，

yxzwww 111 11111

相加得(lga+lgb+lgc)= lg70，由题设 ， xyz xyzww

所以

所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.

所以abc=70=2×5×7.

若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1. 又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7. 所以a+b=c.

例6 （经典例题） 已知x 1, ac 1, a 1, c 1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab. 【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得[来源:学科网]

logax2logax

，

logaclogab

因为ac>0, ac 1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab. logax

注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3．指数与对数方程的解法。

解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。

例7 （经典例题）解方程：3x+4 x +5 x =6 x.

1 2 5

【解】 方程可化为 =1。设f(x)=

2 3 6

数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.

xxx

1 2 5

, 则f(x)在(-∞,+∞)上是减函 2 3 6

xxx

x y y12 x+

例8 （经典例题） 解方程组： x y（其中x, y∈R）. 3

x y

(x y)lgx 12lgy

. ①② 【解】 两边取对数，则原方程组可化为

(x y)lgy 3glx

把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6， 代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0. 又y>0，所以y=2, x=4.

x1 1 x2 4

; 所以方程组的解为 .

y1 1 y2 2

[来源:]