2009年全国高考理科数学试题及答案-福建卷(6)

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M(4,3) 又p(8,3)

MP

5

（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5， 设∠PMN=

，则0°< <60° 由正弦定理得

NP

MPNPMN

sin1200sin sin(600

)

, MN 0 )

1 0 ) sin ) 2故NP MN

600) 0°< <60°， 当 =30°时，折线段赛道MNP最长

亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长 解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，

由余弦定理得MN2 NP2 2MN NP cos∠MNP=MP2 即MN2 NP

2 MN NP 25 故(MN NP)2 25 MN

NP (

MN NP2

) 2

3

从而(

MN NP)2 25，即MN

NP

4

当且仅当MN

NP时，折线段道MNP最长

注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，

还可以设计为：①N平分线上等

；②N；③点N在线段MP的垂直19、（本小题满分13分）

x2

已知A,B 分别为曲线C： 2+y2=1（y 0,a>0）与x轴

a

的左、右两个交点，直线l

过点B,且与x轴垂直，S为l上 异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧 AB的三等分点，试求出点S的坐标；

（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。