(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式(11)

∵特征方程x

px q

有两个相异根 1、 2 方程

rx h

rx2 x(h p) q 0有两个相异根 1、 2，而方程 x rx2 x(h p) q 0又是同解方程.

∴

q xh

与方程

p xr

q 1hq 2h

1, 2

p 1rp 2r

p 1ran 1p 1r

cn,n N

p 2ran 2p 2r

p 1r

.此时对

p 2r

将上两式代入⑥式得

cn 1

当c1 0,即a1 1时，数列{cn}是等比数列，公比为于n N都有

cn c1(

p 1rn 1a 1p 1rn 1

) (1).

p 2ra1 2p 2r

当c1 0即a1 1时，上式也成立. 由cn

an 1

且 1 2可知cn 1,n N.

an 2

所以an

2cn 1

cn 1

,n N.(证毕)

注:当ph qr时,

pan qpan q

会退化为常数;当r 0时,an 1

ran hran h

可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.