(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式(5)

21n 1

( ),n N. 55

21

2 ( )n 1 1

c 155∴an 2n ,n N.

cn 1

( )n 1 155

∴cn

( 5)n 4

即an ,n N.

2 ( 5)n

例5．已知数列{an}满足：对于n N,都有an 1 （1）若a1 5,求an; （2）若a1 3,求an; （3）若a1 6,求an;

（4）当a1取哪些值时，无穷数列{an}不存在？

13an 25

.

an 3

13x 25

.变形得x2 10x 25 0,

x 3

特征方程有两个相同的特征根 5.依定理2的第（1）部分解答.

解：作特征方程x

(1)∵a1 5, a1 . 对于n N,都有an 5; (2)∵a1 3, a1 . ∴bn

1r

(n 1)

a1 p r

11

(n 1) 3 513 1 51n 1

,

28

令bn 0，得n 5.故数列{an}从第5项开始都不存在，