(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式(8)

附定理3的证明

定理3(分式递推问题)：如果数列{an}满足下列条件：已知a1的值且对于

n N，都有an 1

pan q

（其中p、q、r、h均为常数，且

ran h

hpx q

ph qr,r 0,a1 ），那么，可作特征方程x .

rrx h

（1）当特征方程有两个相同的根 （称作特征根）时，

若a1 ,则an ,n N;若a1 ，则an

1

,n N,其中bn

bn

1r

当存在n0 N,使bn0 0时， (n 1),n N.特别地，

a1 p r

无穷数列{an}不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根

1、 2（称作特征根）时，则

n N,

其

中

an

2cn 1

cn 1

，

cn

a1 1p 1rn 1

(),n N,(其中a1 2).

a1 2p 2r

证明：先证明定理的第（1）部分. 作交换dn an ,n N 则dn 1 an 1

pan q

ran h

an(p r) q h

ran h(dn )(p r) q h

r(dn ) h