(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式(9)

dn(p r) [r 2 (h p) q]

①

rdn h r

∵ 是特征方程的根，∴ 将该式代入①式得dn 1 将x 故③

当d1 0，即a1 d1 = 时，由②式得bn 0,n N,故特

p q

r 2 (h p) q 0.

r h

dn(p r)

,n N. ②

rdn h r

p

代入特征方程可整理得ph qr,这与已知条件ph qr矛盾.r

p

,于是p r 0. 征方程的根

r

an dn ,n N.

当d1 0即a1 时，由②、③两式可得dn 0,n N.此时可对②式作如下变化：

1dn 1

rdn h rh r1r

. ④

dn(p r)p rdnp r

px qp h

. 的两个相同的根可以求得

rx h2rp hh r

h rh p ∴ 1,

p hp rp hp r

2r

由 是方程x 将此式代入④式得

1dn 1

1r ,n N. dnp r

令bn

r1

,n N.故数列{bn}是以,n N.则bn 1 bn

p rdn

r

为公差的等差数列.

p r