(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式(2)

单位。当a1取何值时，数列{an}是常数数列？ 解：作方程x (2x 3)i,则x0

6 3i

.要使an为常数，即则必须5

a1 x0

6 3i

. 5

二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式an 2 pan 1 qan，

a1 ,a2 给出的数列 an ，方程x2 px q 0，叫做数列 an 的

特征方程。

若x1,x2是特征方程的两个根，当x1 x2时，数列 an 的通项为

n 1

，其中A，B由a1 ,a2 决定（即把a1,a2,x1,x2an Ax1n 1 Bx2

n 1n 1

和n 1,2，代入an Ax1，得到关于A、B的方程组）；当x1 x2 Bx2n 1时，数列 an 的通项为an (A B)x1，其中A，B由a1 ,a2 决n 1定（即把a1,a2,x1,x2和n 1,2，代入an (A Bn)x1，得到关于A、B

的方程组）。 例

3

：

已

知

数

列

an

满足

a1 a,a2 b,3an 2 5an 1 2an 0(n 0,n N)，求数列 an 的通项

公式。

解法一（待定系数——迭加法） 由3an 2 5an 1 2an 0，得

an 2 an 1

2

(an 1 an)， 3

且a2 a1 b a。

则数列 an 1 an 是以b a为首项，

2

为公比的等比数列，于是 3