量子力学第二版,苏汝铿4.5-4.73

量子力学第二版,苏汝铿

第四章 矩阵力学基础(II)—表象理论

龙时磊 200431020006

姜雷 200431020010

4.5设粒子处在宽度为a的无限深方势阱中,求在能量表象中粒子的坐标和动量的矩阵表示。

解:一维无限深方势阱的归一化波函数是:

2n x

n(x) sin

aa

的矩阵元是: 该波函数是能量本征函数，任何力学量F

Fmn m n

2am x n x F dx sinFsindx 0a0aa

a

此公式用于坐标矩阵：

xmn

2am xn xsinsindx 0aaa1a(m n) x(m n) x [cos cos]xdx (1)

0aaa4amn 2{1 ( 1)m n 1}22[m n]

此式不适用于对角矩阵元. 当m=n时，得对角矩阵元：

xmm

a 2m xa sinxdx ⑵ 20a2a m x dm x2 n

sinsindx 2 0aidxaa2i

动量矩阵元(非对角的)

pmn

sin

m xn x

cosdx aa

2 imn

(1 ( 1)n m 1) ⑶ 222

a(n m)2 n 2

ai

pmm

sin

m xn x

cosdx 0 ⑷ aa

4.6证明两个厄米矩阵能用同一个么正变换对角化的充要条件是它们彼此对易。

,B ] 0充分性的证明: 证明:对易关系[A ,B B 0. ] A B A设[A