量子力学第二版,苏汝铿4.5-4.73(2)

量子力学第二版,苏汝铿

对角化的么正算符,则 是一个足以使A又设S

A S 1) A ⑴ (S

A ,B 1) (SABS 1) (SBAS 1) S B ]的变换矩阵元(S再求[A

,B ] 0此式左方不论 , 为何值都为零，右方可利用矩阵积的元素的展开法则: 由于[A

] (F)(G) G[F

A S 1 S B 1) (S B 1 S A S 1) S S0 (S

A S 1) (S B 1) (S B 1) (S A S 1) ⑵ S S (S

利用⑴式于⑵，则可以写成

[ A

aa

B 1) (S B 1) A] 0 S S(S

不为零的项是：（因为矩阵元是数，可以对易）

B 1) (S B 1)A 0 S SAaa(S

B 1) 0 ⑶ S即：(Aaa A )(S B 1) 0 S此式成立的条件是： 时，(S B 1) 0 S 时，(S

是能同时将A ,B B 1)是对角矩阵，而S B 1)是对角矩阵的元素，(S 对角化的么 S S故(S

正变换算符。

对易关系[A,B] 0必要性的证明：

能同时将A ,B 对角化，则有： 设S

B 1) A ⑷ S(S aa B 1) B ⑸ S(S aa ,B ]进行变换，有： 试对[A

( A ,B 1) (SABS 1) (SBAS 1) )S(S

A S 1 S B 1) (S B 1 S A S 1) S S (S

写成展开式，再将⑷⑸代入：