高考导数常见题型汇总(7)

g(x1) g(x2)2(x1 x2)a

2 2

x1

x2x12x2x1x2 2

， x1 x2 a

4

………（8分）

2(x1 x2)4aa

2 2

2

x12x2x1x2x1x2x1x2

设t

t 0，令kMN u(t) 2 4t3 4t2，u (t) 4t(3t 2)，

由u (t) 0，得t 2,由u (t) 0得0 t 2,

3

3

22

33238g(x) g(x2)38

， u(t) 38，∴所以1 u(t)在t 处取极小值

x x272727312

u(t)在(0,)上是减函数，在(, )上是增函数，

即|g(x1) g(x2)| 38|x1 x2| ………………（12分）

27

9．（1）f(x)的定义域为(0, )，

a 1x2 ax a 1(x 1)(x 1 a)

f'(x) x a

xxx

2分

(x 1)2

. 故f(x)在(0, )单调增加． （i）若a 1 1,即a 2，则 f'(x)

x

（ii）若a 1 1,而a 1,故1 a 2,则当x (a 1,1)时,f'(x) 0.

当x (0,a 1)及x (1, )时,f'(x) 0,故f(x)在(a 1,1)单调减少，在（0，a-1）， (1, )单调增加．

（iii）若a 1 1,即a 2,同理可得f(x)在(1,a 1)单调减少,在(0,1),(a 1, ) 单调增加．

（II）考虑函数g(x) f(x) x x2 ax (a 1)lnx x.

a 1a 1

2x (a 1) 1 (a 1 1)2. xx

由于a a5,故g'(x) 0,即g(x)在(0, )单调增加，从而当x1 x2 0时有 g(x1) g(x2) 0,即f(x1) f(x2) x1 x2 0,

f(x1) f(x2)f(x1) f(x2)f(x2) f(x1)

1，当0 x1 x2时，有 1 故

x1 x2x1 x2x2 x1

1

2

由 g'(x) x (a 1)

10解：（I）

a

f (x) x ,g (x) a 1， ……………（2分）

x

∵函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同， (a 1)(x2 a)

0恒成立，∴当x [1,3]时，f (x) g (x) ……………（4分） x

即(a 1)(x2 a) 0恒成立，