状态反馈的倒立摆PID控制(2)

可做计控作业使用

Figure 1

规定摆杆重心的坐标为 xG,yG ，则

xG x lsin

y lcos G

采用隔离法，对小车有

d2x

u T1 M2(1)

dt

其中T1为摆杆所受沿水平方向的力。 对于摆杆，在水平方向上有

d2 x lsin

(2) T1 m

dt2

在竖直方向上有

d2 lcos

(3) mg T2 m2

dt

其中T2为摆杆所受沿垂直方向的力。 以摆杆质心为旋转中心建立动力学方程有

d2

T2lsin T1lcos J2(4)

dt

其中J

1

mL2为摆杆绕其质心的转动惯量。 12

此时，发现(2)(3)(4)均为非线性方程，为了简化计算并且便于进行控制器设计，要对上述方程进行近似线性化处理。由于控制目标是使摆杆处于垂直稳定状态，

2 0、即 尽可能的小，甚至接近于0，因此可以认为sin 0、cos 1、 0。这里需要注意