1002_高中数学竞赛系列讲座——抽屉原理(10)

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例13．（1995年全国高中数学联赛试题）将平面上每个点以红蓝两色之一着色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色。

证明：如图7，作两个半径分别为1和1995的同心

圆，在内圆上任取9个点，必有5点同色，记为A1，A2，

A3，A4，A5。连半径0Ai交大圆于Bi（i=1,2,3,4,5），对

B1，B2，B3，B4，B5，必有3点同色，记为Bi,Bj,Bk，则△

BiBjBk与△AiAjAk为三项点同色的位似三角形，位似比等

于1995，满足题设条件。

说明：这里连续用了两次抽屉原理（以染色作抽屉）。

也可以一开始就取位似比为1995的9个位似点组（Ai,Bi）

（i=1,2,3, ,9），对4个抽屉（红，红），（红，蓝），（蓝，红），（蓝，蓝）应用抽屉原理，得出必有3个位似点属于同一抽屉，从题目的证明过程中可以看出，位似比1995可以改换成另外一个任意的正整数、正实数。当然，不用同心圆也可证得，如在平面上取任三点都不共线的9点，由抽屉原理必有5点同色，设为A、B、C、D、E；以A为位似中心，以1995为位似比作ABCDE的位似形A'B'C'D'E'，则5点A,B',C',D',E'中必有3点同色，设为B'D'E'，则即为

所求。

更一般地可以证明，在这个二染色的平面上存在无数个内角为30°，60°，90°的直角三角形三顶点同色：任取a∈R+，以a为边作等边三角形，则必有两点同色，记为A，B同红色，以AB为直径作一圆，再作圆内接正六边形AC1C2BC3C4（如图9），当Ci中有红点时△ACiB即为所求；当Ci中无红点即Ci全为蓝色时，

Rt△C1C2C3即为所求。再由a的任意性知，这样的三角形有无数个。

更进一步还可得到：对任何a∈R+，可得到两个相似比为a的顶点同色的相似三角形。对于多染色的情形，还可以得出多个相似三角形的结论：用红、黄、蓝三种颜色对平面上的点染色，对任意的a,b∈R+，必存在三个三角形，它们彼此相似，相似比为1∶a∶b，且每个三角形的三顶点同色。请读者试证。 练习五

1．从集合A={1，2， ，2n}中任取n+1个数，证明：其中必有2个数互质。

2．任意给定7个整数，求证：其中必有两个数，其和或差可被10整除。

3．任给7个实数，求证：其中必有至少两个数（记为x,y）满足0

≤≤

4．给定n+1正整数所组成的集合，其中每个数都不超过2n，证明：这个集合中至少有一个元素能整除另一个元素。

5．设a1,a2, ,an是n个自然数，证明：从这

n个数中总可以选出若干个数，