1002_高中数学竞赛系列讲座——抽屉原理(8)

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说明：把正方形分成四个区域，可以得出“至少有一个区域内有3个点”的结论，这就为确定三角形面积的取值范围打下了基础。本题构造“抽屉”的办法不是唯一的，还可以将正方形等分成边长为的四个小正方形等。但是如将正方形等分成四个全等的小三角形却是不可行的（想一想为什么？）。所以适当地构

造“抽屉”，正是应用抽屉原则解决问题的关键所在。

图5

以下两个题目可以看作是本例的平凡拓广：

（1）在边长为2的正方形内，随意放置9个点，证明：必有3个点，以它们为顶点的三角形的面积不超过。

（2）在边长为1的正方形内任意给出13个点。求证：必有4个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1/4。

例9．9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9条直线中至少有3条通过同一个点。

证明：设正方形为ABCD，E、F分别是AB，CD的中点。

设直线L把正方形ABCD分成两个梯形ABGH和CDHG，

并且与EF相交于P（如图6）

梯形ABGH的面积：梯形CDHG的面积=2∶3

EP是梯形ABGH的中位线，PF是梯形CDHG的中位线，

由于

梯形的面积=中位线×梯形的高，并且两个梯形的高相等（AB=CD），所以 梯形ABGH的面积∶梯形CDHG的面积

=EP∶PF，也就是EP∶PF=2∶3

这说明，直线L通过EF上一个固定的点P，这个点把EF分成长度为2∶3的两部分。这样的点在EF上还有一个，如图上的Q点（FQ∶QE=2∶3）。 同样地，如果直线L与AB、CD相交，并且把正方形分成两个梯形面积之比是2∶3，那么这条直线必定通过AD、BC中点连线上的两个类似的点（三等分点）。 这样，在正方形内就有4个固定的点，凡是把正方形面积分成两个面积为2∶3的梯形的直线，一定通过这4点中的某一个。我们把这4个点看作4个抽屉，9条直线看作9个苹果，由定理2可知，

9=4×2+1，

所以，必有一个抽屉内至少放有3个苹果，也就是，必有三条直线要通过一个点。

说明：本例中的抽屉比较隐蔽，正方形两双对边中点连线上的4个三等分点的发现是关键，而它的发现源于对梯形面积公式S梯形=中位线×梯形的高的充分感悟。

例10．910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶。证明：不论怎样排列，红、蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种：