1002_高中数学竞赛系列讲座——抽屉原理(7)

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在66个科学家中，每个科学家都和其他科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论四个题目，而任何两个科学家之间仅仅讨论一个题目。证明至少有三个科学家，他们互相之间讨论同一个题目。

（4）回顾上面证明过程，对于17点染3色问题可归结为6点染2色问题，又可归结为3点染一色问题。反过来，我们可以继续推广。从以上（3，1）→（6，

2）→（17，3）的过程，易发现

6=（3-1）×2+2，17=（6-1）×3+2，66=（17-1）×4+2，

同理可得（66-1）×5+2=327，（327-1）×6+2=1958 记为r1=3，r2=6，r3=17，r4=66，r5=327，r6=1958，

我们可以得到递推关系式：rn=n(rn-1-1)+2，n=2,3,4 这样就可以构造出327

点染5色问题，1958点染6色问题，都必出现一个同色三角形。

（三）抽屉原理的其他形式。

在例7的证明过程中，我们实际上用到了抽屉原理的其他形式，我们把它作为定理2。

定理2：把m个元素分成n个集合（m＞n）

（1）当n能整除m时，至少有一个集合含有个元素；

（2）当n不能整除 m时，则至少有一个集合含有至少[]+1个元素，（[]表示不超过 的最大整数）

定理2有时候也可叙述成：把m×n+1个元素放进n个集合，则必有一个集合中至少放有m+1个元素。

例8．在边长为1的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过（1963年北京市数学竞赛题）。

分析与解答：如图3，四等分正方形，得到A1，A2，A3，A4四个矩形。在正

方形内任意放入九个点，则至少有一个矩形Ai内存在[]+1=3个或3个以上的

点，设三点为A、B、C，具体考察Ai（如图4），过A、B、C三点分别作矩形长

边的平行线，过A点的平行线交BC于A'点，A点到矩形长边的距离为h=(0≤h≤)，则△ABC

的面积

S△ABC=S△AA'C+S△AA'B

≤×1×h+×1×（-h）

=×=