1002_高中数学竞赛系列讲座——抽屉原理(9)

一套很有用的数学竞赛丛书,老师学生皆宜

1．至少三行完全相同；

2．至少有两组（四行），每组的两行完全相同。（北京市高中一年级数学竞赛1990年复赛试题）

证明：910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶。每行中的7个位置中的每个位置都有红、蓝两种可能，因而总计共有27=128种不同的行式（当且仅当两行墨水瓶颜色及次序完全相同时称为“行式”相同）

任取130行中的129行，依抽屉原理可知，必有两行（记为A，B）“行式”相同。

在除A、B外的其余128行中若有一行P与A（B）“行式”相同，则P，A，B满足“至少有三行完全相同”；在其余（除A，B外）的128行中若没有与A

（B）行式相同者，则128行至多有127种不同的行式，依抽屉原则，必有两行（不妨记为C、D）行式相同，这样便找到了（A，B）、（C，D）两组（四行），每组两行完全相同。

说明：本例构造抽屉时用到了乘法原理，2×2×2×2×2×2×2=27=128个“行式”是制造和应用抽屉原理的关键。

（四）抽屉原理的无限形式

定理3.如果把无穷多个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都至少存在一个集合，其中有无穷多个元素。

例11．在坐标平面上给出无限多个矩形，它们的顶点的直角坐标都具有如下形式：

（0，0），（0，m ），（n，0），（n，m）

其中m，n是正整数，并且m＞3，n＜6，求证：在这些矩形中一定存在无限多个矩形，其中任意两个矩形必有一个被包含在另一个之中。

证明：由n＜6知，n=1,2,3,4,5，只有5种情形，由定理3知，将所给的无穷多个矩形按n的取值分成5类，当作5个抽屉，其中必有一个抽屉（一类）里包含有无穷多个矩形。不妨设这一类矩形的n的取值为n。对于这一类矩形中的任意两个矩形而言，由于n的取值相同，因此m取值较小的一个矩形必然被包含在m取值较大的一个矩形之中。

（五）抽屉原理的多次使用。

在例7的解答中，我们已经看到了多次使用抽屉原理的方法，下面再看两例。 例12．有苹果、梨、桔子若干个，任意分成9堆，求证一定可以找到两堆，其苹果数、梨数、桔子数分别求和都是偶数。

证明：因为每一堆里的每一种水果数或为奇数或为偶数（两个抽屉），而9=2×4+1，故对于苹果，9堆中必有5堆的奇偶性相同；这5堆对于梨数来说，由于5=2×2+1，故必有3堆的奇偶性相同；这3堆对于桔子数也必有2堆的奇偶性相同。于是，就找到这样的两堆，它们的苹果数、梨数，桔子数的奇偶性都分别相同，从而其和数分别都是偶数。

说明：为了得出和是偶数，需要两加数的奇偶性相同。对3类水果逐一找用了3次抽屉原理，若将过程合并简化可将苹果数、梨数、桔子数作为3锥坐标（X，Y，Z），按其坐标的奇偶性构造8个抽屉：

（奇，奇，奇），（奇，奇，偶），（奇，偶，奇），（偶，奇，奇）， （奇，偶，偶），（偶，奇，偶），（偶，偶，奇），（偶，偶，偶），9堆当中必有2堆属于同一抽屉，其坐标的奇偶性完全相同。（参考例5说明）