高中数学高考综合复习导数及其应用(4)

高中数学高考综合复习导数及其应用

的一个极大值，记作

如果对

附近的所有点，都有 。

极大值与极小值统称极值 认知：由函数的极值定义可知： （Ⅰ）函数的极值点

是区间

；

，则说 是函数

的一个极小值，记作

内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；

（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；

（Ⅲ）当函数值点交替出现。

（2）函数的极值的判定 设函数

可导，且在点

处连续，判定

，右侧

是极大（小）值的方法是

，则

为极大值；

在区间

上连续且有有限个极值点时，函数

在

内的极大值点，极小

（Ⅰ）如果在点

（Ⅱ）如果在点

附近的左侧

附近的左侧 ，右侧 ，则 为极小值；

注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数

（3）探求函数极值的步骤： （Ⅰ）求导数

（Ⅱ）求方程 考察

在上述方程的根以及

的实根及

不存在的点；

；

的导数研究中悟出这一点。

不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则 在这一点取得

极大值，若左负右正，则

在这一点取得极小值。

3、函数的最大值与最小值 （1）定理 若函数

在闭区间上连续，则

在

上必有最大值和最小值；在开区间

内连续的函数

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不一定有最大值与最小值。

认知：

（Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

（Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。

（Ⅲ）若值。

（2）探求步骤： 设函数如下： （ I ）求

（ II ）求

（ III ）将

引申：若函数

在

上连续，则

的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅

的各极值与

，

比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。

在定义区间端点处的函数值

，

；

在

内的极值；

在

上连续，在

内可导，则探求函数

在

上的最大值与最小值的步骤

在开区间

内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）

仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化： （ I ）求出

（ II ）计算并比较值。

（3）最值理论的应用

解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：

（ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；

（ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；

（ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点

满足

，并且

在点

处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大

在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小

的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；

（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。

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四、经典例题 例1、设函数

在点

处可导，且

，试求

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

（ 为常数）。

解：注意到

当 ）

（1）

；

（2）

=A+A=2A

（3）令

，则当

时

，

∴

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（4）

点评：注意

式是多种多样的，但是，不论值成功的保障。 若自变量x在

处的增量为

的本质，在这一定义中，自变量x在

选择哪一种形式，相应的

处的增量 的形

也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求

，则相应的 ，

于是有 ；

若令

例2、

，则又有

（1）已知

，求 ；

（2）已知

解： （1）令

，则

，求

，且当 时， 。

注意到这里

∴

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（2）∵

∴

①

注意到 ，

∴由已知得 ②

∴由①、②得

例3、求下列函数的导数 （1）

； （2）

；

（3）

； （4） ；

（5）

解： （1）

（2） ∴

； （6）

，

（3） ，