高中数学高考综合复习导数及其应用(6)

高中数学高考综合复习导数及其应用

且有 ∴将

∴点 ∴

，

代入

①

的解析式得

坐标为方程 的解

注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。

例5、已知曲线

求证：两曲线在公共点处相切。

证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合， 设上述两曲线的公共点为

∴

∴

， ，

，则有 ，

，

，其中

，且均为可导函数，

∴ ，

∴

于是，对于 对于

∴由①得

由②得

有 ，有

； ①

②

，

高中数学高考综合复习导数及其应用

∴ ，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，

∴两曲线在公共点处的切线重合 ∴两曲线在公共点处相切。

例6、

（1）是否存在这样的k值，使函数+∞）上递增，若存在，求出这样的k值；

（2）若

解： （1） 由题意，当 ∴由函数 即 整理得

时 的连续性可知

，当x∈(2,+∞) 时

，

，

恰有三个单调区间，试确定

在区间（1，2）上递减，在（2，

的取值范围，并求出这三个单调区间。

解得 验证：

或

（Ⅰ）当 ∴若

时， ，则

；若

， 则

， 符合题意；

（Ⅱ）当 时，

显然不合题意。

，

于是综上可知，存在

（2） 若

，则

使 在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增。

，此时 只有一个增区间

，与题设矛盾；