2012年上海市杨浦区一模数学试卷文科含答案(13)

又AM的斜率为

yyx

,则有 k 1 ,既k 代入①

xxy

故M点轨迹为y2 x2 y 0(x 0) (注:没写y 0扣1分) 9分 另解:由上式①过定点P(0,1), (x,y), ( x,1 y) 0, 所以, x x y(1 y) 0, 既y2 x2 y 0(y 0) 【解2】设点M的坐标为 x,y ,AB方程为y kx,由 BAC

2

得AC方程为

y kx1 11 2

y x,则 得, 同理可得CBk,k ,2 2

k kk y x

1

2)(x k)恒过定点P(0,1), BC方程为y k2 (

1k

k

k2

(x,y), ( x,1 y) 0, 所以, x x y(1 y) 0, 既y2 x2 y 0(y 0)

(注:没写y 0扣1分)

（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） (3) 【解1】

若存在AB边所在直线的斜率为2的正三角形ABC,设A(p,p),B(q,q),

2

2

q2 p2

(其中不妨设p q), 则 2 , p q 2 ------① 11分

q p

令AB a,则 q p q2 p2

2

2

2

a2,即 q p q p q p

2

2

2

a2

将①代入得,3 q p a2,